A digitalizáció története: Ez a 3 matematikai fogalom minden mobiltelefonban megtalálható
Matematika? Sok ember számára már csak ez a szó is rossz emlékeket idéz fel az iskolai időkről. És hogy őszinte legyek: ezek az absztrakt játékok végül nem önmaguk körül forognak – a legjobb esetben is szórakoztatnak néhány majom számára?
Valójában a világunk más lenne nélkülük. A bináris kód, a prímszámok és a grafikonok szórakoztató kísérletek voltak az akkori matematikusok számára. Nélkülük ma nem léteznének számítógépek, mobiltelefonok, mesterséges intelligencia.
Három áttörés a matematika történetében – a nullák és egyesek számrendszerétől a Fermat-féle faktorizáláson át a Königsberg-híd problémájáig – megmutatja, hogyan vált digitális mindennapjaink alapjává a tiszta elmélet.
A számok bináris ábrázolása
A bináris rendszer a számok megjelenítése, amely csak két karaktert használ – általában nullákat és egyeseket. A legtöbb ember valószínűleg találkozott nullákkal és egyesekkel a számítógépes világban.
A számok ábrázolásának ezt a módját a Kr.e. 3. században Pingala indiai matematikus „találta fel”. Az egészet Gottfried Wilhelm Leibniz német matematikus és filozófus tette igazán hivatalossá 1697-ben.
A mindennapi életben használt szokásos számrendszerünk a tizedes. 10 karakteren alapul – az általunk ismert tíz számjegy segítségével leírhatjuk az összes (egész) számot, amellyel számolunk és számolunk.
Leibniz feltette magának a kérdést, hogy minden szám ábrázolható-e csupán két karakter használatával. Például 0-k és 1-ek sorozataként. A bináris rendszerben a 0 a nullát, az 1 az egyet, az 1 0 a kettőt, az 1 1 a hármat és így tovább. Kettős számrendszerét még a teremtés értelmében is látta: az egész világ a semmiből, azaz nullából jött létre, Isten igéje pedig egy.
Ma már nem tudnánk digitális eszközöket használni e nélkül az ábrázolás nélkül. Laptopjaink, mobiltelefonjaink, autóink, még a jegypénztárunk is erre az ötletre épül. Ezzel az egyszerű kétjegyű ábrázolással a számok „digitalizálhatók” – azaz elektromos állapotokká alakíthatók. A „bekapcsolás” vagy „kikapcsolás” ebben az esetben egyet vagy nullát jelent.
Fermat-féle faktorizációs módszer
Több mint 200 évvel később a bináris számábrázolás képezte a számítástechnika és a számítástechnika alapját. Velük együtt megnőtt az igény és az érdeklődés az elküldött információk és üzenetek titkosítására, hogy azokat ne lehessen gyorsan és egyszerűen feltörni egy másik számítástechnikai gép segítségével.
Hiszen 1940-ben Alan Turing brit matematikusnak már sikerült dekódolnia a feltörhetetlennek tartott náci rejtélyt kezdetleges számítógépes elődjével.
A kriptográfiában a prímszámok – az összes többi szám alapvető építőköveit alkotó számok keresése – óriási szerepet játszanak az alkalmazásban. Minden egész szám egyedileg felbontható, ha megfelelő prímszámok szorzataként bontja ki. Az általánosan használt titkosítási módszerek, például az RSA titkosítás ezen alapulnak.
A titkosított üzenet olvasásához szükség van egy úgynevezett kulcsra. Ez a kulcs egy hatalmas szám elsődleges tényezője. Ha nincs meg a kulcs, akkor csak egy nagyon hosszú, értelmetlen számot fog látni.
Rosszul választott kulcsok
Néha azonban a kulcs olyan rosszul van megválasztva, hogy egy egyszerű algoritmussal feltörhető. Ez pedig a 17. századba vezet vissza, Pierre de Fermat francia matematikushoz és jogászhoz. Kifejlesztett egy algoritmust, amellyel viszonylag könnyen kiszámíthatóvá vált, hogy mely prímszámokat kell összeszorozni az egyes kezdeti számok kiszámításához.
Nagy, jól megválasztott számok esetén általában egy örökkévalóságig tart, amíg az algoritmus kiköpi a megoldást. De ha ez az úgynevezett Fermat-faktorizációs módszer gyorsan megoldást ad, akkor a titkosítás túl gyenge. Éppen ezért a Fermat-módszert ma elsősorban a kiválasztott billentyűk erősségének ellenőrzésére használják.
Königsberg híd probléma
A 18. században, amikor az akkori Königsbergben járt, Leonhard Euler svájci matematikus feltette magának a kérdést, hogy van-e mód arra, hogy a város mind a hét hídján pontosan egyszer átkeljen. Némi gondolkodás után bebizonyította: Nem. És ezzel megalapozta az úgynevezett gráfelméletet.
A gráf olyan struktúra, amely a csomópontokat úgynevezett éleken keresztül köti össze. Kicsit úgy képzelheted el, mint egy gondolattérképet. Vagy egy metrótérképet. Ebben az esetben a csomópontok a megállóhelyek, amelyek vasútvonalakon keresztül kapcsolódnak egymáshoz, vagy nem. Grafikonoknál – akárcsak a metró- vagy gondolattérképeknél – a csomópontok közötti távolság nem játszik szerepet. Minden a lehetséges kapcsolatokon múlik.
A matematikusok az elmúlt néhány évtizedben dolgozták ki a gráfelméletet. A számítástechnika területén többek között a gráfok adják a mesterséges neurális hálózatok alapját. Végül az agyunkat összetett grafikonként is tekinthetjük. A szinapszisok az idegsejteket összekötik egymással, és hatalmas információtárat alkotnak.
A mesterséges neurális hálózatok ezt a koncepciót alkalmazzák. Lehetővé teszik a számítógépek betanítását, azaz nagy mennyiségű adatból való tanulást és struktúrák felismerését anélkül, hogy kifejezetten programoznák őket. A mesterséges intelligencia fontos részét képezik, és például kép-, arc- vagy beszédfelismerésre vagy korai figyelmeztető rendszerekre használják.
