A furcsa számok, amelyek apró léptékeken modellezhetik a téridőt
Mit jelent, ha két szám közel van egymáshoz? Általában elég megnézni a köztük lévő távolságot a számegyenesen. A matematikában azonban van egy egész számcsalád, amelynél ez az intuíció nem működik. Náluk a közelség nem azon múlik, hogy két mennyiség mennyiben tér el, hanem attól, hogyan teszik ezt. Ők a p-adikus számokbriliáns matematikai találmány, amely mélyen kapcsolódik a fizikához és a geometriához.
A német Kurt Henselnek valamivel több mint száz éve támadt az ötlete. Hensel ezeket a számokat az egész számok sajátos módon való megjelenítésére hozta létre: egy prímszám hatványainak végtelen összegeként. p (ami csak 1-gyel és önmagával osztható). Ahhoz, hogy ezek az összegek számokat közelítsenek, ki kellett találni egy új távolságfogalmat, ahol a közel és távol fogalmának semmi köze az általunk megszokottakhoz.
Megjelenése ezért kevésbé intuitív, mint a mindennapi ügyekben előforduló más típusú számok. Például a racionális számokvagy egész számok töredékei olyan értékek, amelyek az eloszlások készítésekor jelennek meg. Ha egy tortát nyolc ember között osztunk fel, mindenki 1/8-at kap. Bármely tudományos mérés vagy számítógépes folyamat csak ilyen típusú mennyiségeket használ, azonban tudjuk, hogy a természetben más mennyiségek is léteznek: irracionális számok. Például egy kör alakú földterület területének kiszámításához π-t használnak (a felület π-t megszorozzák a sugár négyzetével). Ennek a konstansnak (3,1415…) végtelen tizedesjegyei vannak, és nem fejezhető ki két egész szám törtrészeként. Senki sem ismeri az összes alakjukat. Illetve egy háromszög alakú földdarab leghosszabb oldalának hossza, ahol két, egymásra merőleges 100-as fal van, a 20 000 négyzetgyöke (a Pitagorasz-tételt követve), ami szintén nem fejezhető ki törtként.
Ezeken a példákon túl az irracionális számok mindenhol megtalálhatók. Így két tört között, bármilyen közel vannak is, mindig vannak közöttük olyan számok, amelyeket nem lehet törtként felírni. Vagyis ha elképzelünk egy vízszintes hosszúságú szakaszt (az egyik végére 0-t, a másikra 1-et teszünk), és ráhelyezzük az összes törtet (1/2, 1/3, 1/4, 5/6, 7/9, 25/27 és a valóságban még végtelenül többet), akkor ezek eloszlanak a szegmensben, de nem töltik ki teljesen a törtpontokat, amelyek nem felelnek meg teljesen. Azok a hiányzó pontok, ill hézagokmatematikailag olyan értékekként definiálható, amelyeket olyan törtsorozatokkal közelítenek meg, amelyek tagjai eltűnnek közeledik egyre többet egymással. A számok közötti közelséget a szokásos távolsággal mérjük (például a −3 és 5 közötti távolság 8).
Ha a törteket és az irracionális számokat összeadjuk, akkor a szakasz befejeződik, kontinuumot kapva, anélkül, hogy az elemek között ugrás lenne. Ugyanez történik, ha egy végtelen vízszintes vonalat veszünk figyelembe. Így szerezheti meg a valós számokEz a vonal képviseli, amelyeket hagyományosan a természet törvényeinek megfogalmazására használnak, amelyekről hosszú időn át úgy gondolták, hogy minden léptékben teljesíti a folytonosság e feltevését.
De léteznek egzotikusabb módszerek is a törtek közötti hézagok kitöltésére, amelyeknél nem kapunk a folyamatos vizuális sino fraktál. Ezt a kontinuumot pontosan a Hensel által kitalált számok alkotják: a p-adicahol p Ez egy prímszám. Megalkotásukhoz ugyanazt tesszük, mint az irracionális értékeknél: olyan értékeknek tekintjük őket, amelyekhez olyan törtsorozatok közelednek, amelyek tagjai egyre közelebb állnak egymáshoz. Itt azonban a közelség vagy közelség extravagánsabb fogalma használatos: két tört az p-ragaszkodóan zárja be, ha nagy teljesítményű pés azok p-továbbá messzire, ha nagy teljesítményű p. Például 2/5 és 1/16 közel állnak egymáshoz 3-továbbá azért, mert a különbségük számlálójában, a 27/80-ban, 3 hatványához 3 jelenik meg. Mivel azonban a nevező 80-a 5-ször 2 a 4 hatványához, ugyanaz a két tört messze van 2-ragaszkodóan.
A 0 és 1 közötti hézagok ilyen módon történő kitöltésével nem egy szegmens, hanem egy fa-fraktál szerkezetet kapunk. Évtizedek óta lenyűgözi a fizikusokat és a matematikusokat. Valójában a húrelméletben, a kozmológiában és a kvantummechanikában van egy olyan áramlat, amelynek soraiban vannak fontos tudósok, amelyek alapján 10-től mínusz 35-ig terjedő skálán a téridő jobban modellezhető számokkal. p-adic, mint a reales, vagy legalábbis a verzió p-adica új megvilágításba helyezné a világot azon az apró léptéken. A mögöttes elgondolás az, hogy a kvantumfizika megjelenéséig az anyagot kontinuumnak tekintették, amit valós számok jól leírtak. A kvantumvilágban azonban a valóság differenciált részecskékből áll, ami nem teljesen illeszkedik a folytonosság klasszikus intuíciójához. Ebben az összefüggésben a számok pAz -adic alternatív geometriát kínál, amely megnyitja az ajtót a téridő mikroszkopikus struktúráinak a kvantumfizika által sugallt szemcsézettségnek megfelelő módon történő leírására.
A matematikán belül is a számokat p-adic relevánsak. Alapvető szerepet játszanak az olyan mély matematikai elméletekben, mint a Langlands program. A német Peter Scholze a közelmúltban vehette át a matematikai Nobel-díjnak számító Fields-érmet részben a számokkal végzett munkájáért. p-adic.
A közelmúltban ezek a számok újra megjelentek a fizikában és a szimplektikus geometriában, új információkat szolgáltatva a Heisenberg-féle bizonytalansági elvről és más jelenségekről.
Az a tény, hogy a kísérleti méréseket kizárólag törtek felhasználásával végzik, nyitva hagyja az ajtót annak a kérdésnek, hogy vannak-e természeti vonatkozások, mely számokkal kapcsolatban. p-adic vagy más számrendszerek segíthetnek a megfejtésben. Ha ez a helyzet, annak számos területen következményei lesznek, beleértve a kvantumszámítástechnikát is. Az idő és a kísérletek eldöntik, hogy ezekkel a furcsa számokkal számolni csak egy lenyűgöző matematikai elmélet, vagy a természet megértésének hatékony eszköze.
—
Alvaro Pelayoa Spanyol Királyi Tudományos Akadémia akadémikusa és a Madridi Complutense Egyetem matematikaprofesszora.
A fraktáldimenzió a Matematikai Tudományok Intézetének (CSIC-UAM-UC3M-UCM) tere, ahol az aktuális események matematikai pillantását kínálják erre specializálódott kutatók.
Szerkesztés és koordináció: Ágata Timón García-Longoria Az ICMAT Tudományos Kultúra Egységének koordinátora.
